Задание 2. Векторы и координаты: ЕГЭ по математике

Задание 2 ЕГЭ по математике (базовый уровень, 1 балл) проверяет умение работать с векторами в координатной форме: находить координаты вектора по координатам точек, выполнять сложение, вычитание, умножение вектора на число, вычислять скалярное произведение, длину вектора, угол между векторами, а…

Что нужно знать

• Вектор задаётся координатами: если известны координаты начала A(x1;y1) и конца B(x2;y2), то вектор AB имеет координаты (x2−x1; y2−y1).
• Сложение векторов: a+b = (a_x+b_x; a_y+b_y). Вычитание: a−b = (a_x−b_x; a_y−b_y).
• Умножение вектора на число k: k·a = (k·a_x; k·a_y).
• Скалярное произведение векторов a·b = a_x·b_x + a_y·b_y (для двумерных) или a_x·b_x + a_y·b_y + a_z·b_z (для трёхмерных).
• Длина вектора a = √(a_x² + a_y²) (или с тремя координатами).
• Косинус угла между векторами: cos φ = (a·b) / (|a|·|b|).

Термины и понятия

• Вектор: направленный отрезок, характеризующийся длиной и направлением.
• Координаты вектора: упорядоченная пара (или тройка) чисел, показывающая проекции вектора на оси координат.
• Скалярное произведение: операция над двумя векторами, результатом которой является число, равное сумме произведений соответствующих…
• Коллинеарные векторы: векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой.
• Перпендикулярные векторы: векторы, угол между которыми равен 90°.
• Длина вектора: расстояние между началом и концом вектора, вычисляется как корень из суммы квадратов координат.
• Угол между векторами: угол, образованный векторами при их откладывании от одной точки.
• Косинус угла между векторами: отношение скалярного произведения к произведению длин векторов.

Частые ошибки

• Путаница в порядке вычитания координат при нахождении вектора по двум точкам: вместо (конец минус начало) делают (начало минус конец). Это ошибка, так как вектор направлен от начала к концу.
• Ошибки в знаках при сложении или вычитании векторов, особенно если координаты отрицательные.
• Забывают умножить все координаты на число при умножении вектора на скаляр.
• Неправильное вычисление скалярного произведения: перепутывают координаты x и y или складывают не те произведения.

Как пройти тему

В курсе «Математика» тема «Задание 2. Векторы и координаты» занимает 5 занятий по 40 минут: репетитор объясняет материал, задаёт вопросы как на экзамене, разбирает ваши ответы и в конце ставит оценку. Это обзор темы, полный разбор — в занятии. ИИ может ошибаться: проверяйте важное по учебнику. Занятия не заменяют живого репетитора и не гарантируют результат на экзамене.

Другие темы раздела

• Задание 1. Планиметрия
• Задание 3. Стереометрия: углы и расстояния
• Задание 4. Вероятность случайного события
• Задание 5. Вероятность: графические методы и формулы
• Задание 6. Случайные величины и распределения
• Задание 7. проверяемый элемент содержания: 10 класс: 111.7.2.2; 11 класс: 111.7.3.2 (базовый уровень); 10 класс: 112.7.2.2; 11 класс: 112.7.

← Предыдущая тема: Задание 1. Планиметрия
Следующая тема: Задание 3. Стереометрия: углы и расстояния

Все темы: ЕГЭ по математике